Jsou racionální čísla uzavřená na dělení?

Racionální čísla jsou čísla, která lze vyjádřit jako zlomek, kde čitatel i jmenovatel jsou celá čísla a jmenovatel není nulový. Například čísla 1/2, 3/4 a -5/6 jsou racionální čísla. Otázkou je, zda jsou racionální čísla uzavřená na operaci dělení.

Operace dělení racionálních čísel

Předtím, než se zaměříme na uzavřenost racionálních čísel na dělení, je důležité si uvědomit, jak probíhá samotná operace dělení racionálních čísel.

Při dělení dvou racionálních čísel se postupuje následovně:

  1. Zlomek, který se dělí, nazýváme dělenec.
  2. Zlomek, který dělí, nazýváme dělitel.
  3. Chceme-li vydělit dělence dělitelem, musíme provést následující kroky:
  1. Invertujeme dělitele, tedy prohodíme čitatel a jmenovatel.
  2. Operaci násobení nahradíme operací násobení -1, abychom dostali opačné znaménko.
  3. Násobíme dělence invertovaným dělitelem.

Pokud je výsledkem operace dělení opět racionální číslo, můžeme říci, že racionální čísla jsou uzavřená na dělení.

Důkaz uzavřenosti racionálních čísel na dělení

Abychom dokázali, že racionální čísla jsou uzavřená na dělení, musíme doložit, že výsledek dělení dvou racionálních čísel je opět racionální číslo. To lze provést pomocí matematického důkazu.

  1. Předpoklad: Mějme dva racionální čísla x a y, kde y není nulové.
  2. Důkaz: Vyjádřeme si x a y jako zlomky: x = a/b a y = c/d, kde a, b, c, d jsou celá čísla a b, d jsou nenulová.
  3. Úprava: Invertujme dělitele y, tedy y^-1 = d/c.
  4. Operace dělení: Nyní provedeme operaci násobení zlomků: x * (y^-1) = (a/b) * (d/c).
  5. Úprava: Násobení zlomků je definováno jako násobení čitatelů a násobení jmenovatelů: x * (y^-1) = ad / bc.
  6. Úprava: Protože a, b, c, d jsou celá čísla a b, d jsou nenulová, ad a bc jsou také celá čísla a bc není nulové.
  7. Výsledek: Výsledek operace x * (y^-1) je opět racionální číslo, protože je vyjádřen jako zlomek s celými čísly v čitateli a jmenovateli.

Podle důkazu můžeme říci, že racionální čísla jsou uzavřená na dělení, protože výsledek operace dělení dvou racionálních čísel je opět racionální číslo.

FAQ

1. Jaké jsou příklady dělení racionálních čísel?

Příklady dělení racionálních čísel:

Dělenec Dělitel Výsledek
1/2 1/4 2
3/4 1/2 3/2
5/6 2/3 5/4

2. Jaký je výsledek dělení racionálního čísla nulou?

Dělení racionálního čísla nulou není definováno v matematice. Je to proto, že dělení nulou by vedlo k nekonečnu (například 1/0 = ∞) a matematika toto neumožňuje. Výsledek dělení racionálního čísla nulou je tedy nevypočitatelný a nelze jej vyjádřit jako racionální číslo.

3. Jsou iracionální čísla uzavřená na dělení?

Iracionální čísla nejsou uzavřená na dělení. Iracionální čísla jsou čísla, která nelze vyjádřit jako zlomek a mají nekonečný a neperiodický desetinný tvar. Při dělení dvou iracionálních čísel není výsledek vždy iracionální číslo, může to být také racionální číslo. Iracionální čísla tedy nejsou uzavřená na operaci dělení.

Závěr

V rámci tohoto článku jsme se zabývali otázkou, zda jsou racionální čísla uzavřená na dělení. Dospěli jsme k závěru, že racionální čísla jsou uzavřená na dělení, protože výsledek operace dělení dvou racionálních čísel je opět racionální číslo. Iracionální čísla však nejsou uzavřená na dělení, protože výsledek operace dělení dvou iracionálních čísel nemusí být iracionální číslo. Dělení racionálního čísla nulou není definováno v matematice.

Napsat komentář